Recibido: 22-06-2021 / Revisado: 01-07-202=
1 /
Aceptado: 20-07-2021 / Publicado: 05-08-2021
Análisis de integrales
trigonométricas notables
DOI:
Analysis of notable
trigonometric integrals
Rómel
Manolo Insuasti Castelo. [1] &=
amp;
Javier Roberto Mendoza Castillo. [2]
Keywords:
Trigonometric
integrals, periodic functions, odd and even functions.
Resumen.
P=
alabras
claves: Integ=
rales
trigonométricas, funciones periódicas, funciones pares e impares
Intro=
ducción.
La solución de integr=
ales
definidas de funciones trigonométricas en ocasiones se encuentra en el
desarrollo de problemas de diferente índole matemático, por lo que es neces=
ario
resolverlas siendo en ocasiones innecesario, pues si se analiza un poco, es=
tas integrales
se las puede resolver por simple inspección llegándose a determinar que dic=
has
integrales son notables, es decir que no requieren un proceso de solución, =
para
determinar el valor de dicha integral. Para esto se requiere el conocimient=
o de
ciertos conceptos trigonométricos y del análisis matemático. Algunos concep=
tos
a tener en cuenta son el de función par e impar, función periódica, integral
definida, identidades trigonométricas, entre otros los que permitirán anali=
zar
la integral en su totalidad, dichas integrales tienen ciertas condiciones q=
ue
determinan el valor de las mismas, sin calcularlas.
=
Metodología=
.
Revisemos algunos
conceptos que se encuentran en la mayoría de bibliografía matemática, así
citaremos a Leithold, Araujo, Purcell, Ste=
wart y
Apostol muy conocidos en el Ecuador.
Función par:
Se dice que una función es par si se cumple la siguiente igualdad
=
Gráfico
1.
Función par
Fuente: Elaboración propia
Función impar:=
Se dice que una función es impar si se cumple la siguiente igualdad<=
span
style=3D'font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:"Times New Roman",se=
rif;
mso-fareast-font-family:Calibri;mso-fareast-theme-font:minor-latin'>
Esta ecuación nos ind=
ica
que para cualquier valor de
=
Gráfico
2.
Función impar
Fuente: Elaboración propia
Periodicidad de una función.
La periodicidad de una
función debe entenderse como el hecho de que gráficamente la función se rep=
ite
cada cierto valor de x, y este representa un intervalo sobre el eje x,
matemáticamente se lo puede definir como:
Donde p, es periodo d=
e la
función, este valor puede ser un múltiplo n de p, n es un escalar, tal
como p, 2p, 3p, etc., estos indica=
n que
también son periodos de
Las funciones
trigonométricas son funciones periódicas (Lehmann, 1989), como podemos ver =
en
el gráfico 3 y gráfico 4.
=
Gráfico
3.
Función sin(x)
Fuente: Elaboración propia
=
Gráfico
4.
Función cos (x)
Fuente: Elaboración propia
Integral definida: La
interpretación geométrica de una integral definida es el área bajo la curva=
en
un intervalo respecto de la variable independiente de la función analizada,
donde el área sobre el eje se considera área positiva y el área debajo del =
eje
se considera área negativa como se observa en el Gráfico 4.
=
Gráfico
5.
Interpretación geométrica de la integral definida
Fuente: Elaboración propia
Citamos a Niles que trata algunas identidades trigonométricas q=
ue
encontramos muy útiles, en la integración de funciones trigonométricas:
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-serif;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'>
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-serif;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'>
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-serif;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'>
Análisis.
Las integrales a ser
analizadas son de funciones trigonométricas, periódicas en 2π donde los
límites de integración están en el intervalo de 2π. (Salinas, 2011)
a. Sea la integral
=
Gráfico
6.
Integral definida del sin(x)
Fuente: Elaboración propia
Por lo tanto: <=
/span>
b. De forma análoga podemos realiz=
ar la
integral
=
Gráfico
7.
Integral definida del cos(x)
Fuente: Elaboración propia
Por lo tanto: =
Estas dos integrales =
nos
servirán como base para trabajar con otras integrales un poco más complejas=
.
c. =
Sea la integral:
Como se observa la
función de la integral
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-serif;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'>
En la que se puede
observar, que se puede realizar un cambio en la función de un producto de un
seno por un coseno a una suma de senos, teniendo en cuenta que:
Al cambiar a la suma =
de
senos esto implica tener integrales de senos, que como se ha visto estas son
cero, por lo tanto se puede afirmar sin importar cuales sean los valores de=
m y
n, que:
d. Sea la integral:
En este caso tenemos =
dos
posibilidades de análisis, dependiendo de los valores de m y n, así:
Si
De acuerdo a la identidad trigonométrica:
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-serif;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'>
Podemos observar que =
se
puede transformar el producto de dos cosenos en la suma de cosenos, teniend=
o en
cuenta que
Por lo tanto las
integrales de cosenos sabemos que son cero
y el resultado entonces será:
Si =
Al remplazar por la
identidad trigonométrica
Se tiene
Abriendo la integral se tiene:
Donde la integral de
coseno es cero y la segunda integral al evaluarla es igual a π, por lo
tanto:
e. =
Sea la integral:
En forma análoga en e=
ste
caso tenemos dos posibilidades de análisis, dependiendo de los valores de m=
y
n, así:
Si
De acuerdo a la identidad trigonométrica:
<=
span
style=3D'font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri",sans-serif;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:"Times New Roman";
mso-fareast-theme-font:minor-fareast;mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:"Times New Roman";mso-bidi-theme-font:minor-bidi;
mso-ansi-language:ES;mso-fareast-language:ES;mso-bidi-language:AR-SA'>
Podemos observar que se puede transformar el produ=
cto
de dos senos en la diferencia de cosenos, teniendo en cuenta que
Por lo tanto las
integrales de cosenos sabemos que son cero
y el resultado entonces será:
Si =
Al remplazar por la identidad trigonométrica
Se tiene
Abriendo la integral se tiene:
Donde la integral de
coseno es cero y la primera integral al evaluarla es igual a π, por lo
tanto:
Resultados.
Como se puede observa=
r se
ha podido diseńar y definir integrales que son de fácil evaluación (Favieri, 2009), si se hace uso de los conceptos
matemáticos logrando obtener integrales notables de funciones trigonométric=
as
evaluadas en un intervalo que corresponde al periodo de la función, las cua=
les
se resumen en la siguiente tabla.
Tabla
1
Integrales
Notables
ˇ =
Se
pude aceptar el término de integrales trigonométricas notables, a aquellas
integrales a las cuales se las puede obtener el resultado de una forma
mecanizada y ordenada basada en principios matemáticos, como son funciones
periódicas, funciones pares o impares, e integrales evaluadas en el interva=
lo
de la periodicidad, lo que evita encontrar la integral a través de procesos=
de
integración.
ˇ =
El
valor de las integrales del seno como del coseno es igual a cero siempre y
cuando sean evaluados dentro del intervalo de la periodicidad de las mismas=
y
se constituyen en la base para encontrar las demás integrales notables.
ˇ =
Los
valores de las integrales de la tabla de resumen quedan a disposición y pue=
den
ser base para el cálculo de otras integrales.
Referencias
bibliográficas.
Apostol, T. M. (2005). Calculus, =
Vol.
1, Reverté, 2Ş. Edición, 11-15
Araujo, F. (2018). Cálculo integr=
al.
Quito: Editorial Universitaria Abya-Yala.,19-22
Ellis,
R And Gulick D. (2006). Calculus W/Concepts in Calculus. Sixth Edition. Editorial: Cengage Learning,125-129
Espinoza, E (2005),
Matemática Básica, 2a Edición, Perú., 339-340
Favieri, A., & Scorzo, R. (20=
09).
Estudio sobre habilidades matemáticas para el Cálculo Diferencial en
estudiantes de Ingeniería. . 10mo Simposio De Educación Matemática.,4-5
Lehmann, Ch. (1989),
Geometría Analítica, 13a. Edición. México D.F., Limusa., 298 -30=
0
Leithold L., El cálculo. 7Ş. ed.
México: Printed Oxford University Press-Harla México, S. A. de C. V., 1998.
242-248
Niles O. N. (1988). Trigonometría
Plana. Limusa, S. A de C. V., México D. F. , 127-147.
Purcell E., Verberg D. y Rigdon S=
.,
Cálculo, 9Ş. ed. México: Pearson Educación, 2007., 215-224
Salinas, G (2011),
Algebra Superior, 1a Edición, Ecuador, Soluciones Gráficas., 44-=
46
Stewart, J. (2018). Cálculo de una
variable. Trascendentes tempranas. Cengage, 8a. Edición, 2018., 360-369
Villalobos, A. y García, G.(2011)
Algunas Series E Integrales Con Funciones Trigonométricas Centro de
Investigación de Matemática Aplicada (C.I.M.A.),4-6
PARA
CITAR EL ARTÍCULO INDEXADO.
El artículo que se publica es de exclusiva responsabilid=
ad
de los autores y no necesariamente reflejan el pensamiento de la Revista Alfa Publicaciones.
El artículo qu=
eda
en propiedad de la revista y, por tanto, su publicación parcial y/o total en
otro medio tiene que ser autorizado por el director de la Revista Alfa Publicaciones.
=
=
[1] Escuela Superior Politécnica=
de
Chimborazo, Facultad de Mecánica. Riobamba. Ecuador. rinsuasti@espoch=
.edu.ec. Código ORCID: https://orcid.or=
g/0000-0002-4170-1511
[2]
Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, Facultad de Recursos
Naturales. Riobamba, Ecuador. jmendoza@=
espoch.edu.ec. Código ORCID: https://orcid.or=
g/0000-0003-3148-0193
Alpha publicaciones<=
o:p>