On= e-dimensional heat equation comparative model: deterministic and stochastic perspectives<= o:p>
|
1 |
Brigith Magdalena Jiménez Tillaguango |
|
https://orcid.org/0009-0000-62=
82-9031 |
|
|
|
Universidad Nacion=
al
de Chimborazo (UNACH), Riobamba, Ecuador. Maestría en Matemá=
tica
Aplicada con mención en Matemática Computacional |
|||
|
2 |
Lidia del Rocio Castro Cepeda<=
span
style=3D'color:black'> |
|
https://orcid.org/0000-0002-04=
71-2879 |
|
|
|
Universidad Nacion=
al
de Chimborazo (UNACH), Riobamba, Ecuador. Máster Universitar=
io
en Ingeniería Matemática y Computación |
|
|
Artículo de Investigación Científica y Tecnológi=
ca Enviado: 12/05/2026 Revisado: 13/06/2026 Acepta=
do: 08/07/2026 Publicado: 28/07/2026 DOI: https://doi.org/10.33262/a=
p.v8i3.701
=
=
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
Cítese: =
|
|
Jiménez Tillaguango,
B. M. ., & Castro Cepeda, L. del R. (2026). Modelo comparativo de la
ecuación de calor unidimensional: perspectivas deterministas y estocástic=
as. AlfaPublicaciones, 8(3), 43–69. https://doi.org/10.33262/ap=
.v8i3.701 |
|
||||||
|
|
|
ALFA PUBLICACIONES, es una revista multidisciplinar, trimestral, que se publicar=
á en
soporte electrónico tiene como misión contribuir a la
formación de profesionales competentes con visión humanística y crítica q=
ue sean
capaces de exponer sus resultados investigativos y científicos en la misma
medida que se promueva mediante su intervención cambios positivos en la
sociedad. https://alfapublicaciones.co=
m
|
|
||||||
|
|
|
Esta revista está protegida bajo una licen=
cia
Creative Commons Attribu=
tion
Non Commercial No Derivatives 4.0 Internation=
al.
Copia de la licencia: http://creativecommons.org/l=
icenses/by-nc-sa/4.0/ |
|
||||||
|
Palabras claves: Ecuación del
calor, ecuaciones
diferenciales parciales, procesos
estocásticos, ruido blanco,<= o:p> método de Monte
Carlo. |
|
Resumen Introducción:
la
incorporación de incertidumbre en los modelos de conducción de calor perm=
ite
representar perturbaciones aleatorias presentes en diversos procesos físi=
cos.
Objetivos: la presente investigación se plantea como objetivo comp=
arar
las formulaciones determinista y estocástica de la ecuación del calor
unidimensional bajo ruido blanco gaussiano aditivo y analizar la influenc=
ia
de la difusividad térmica en la propagación de la incertidumbre. Metod=
ología:
se implementó una simulación computacional validada y reproducible pa=
ra
ecuaciones diferenciales parciales estocásticas en el software MATLAB,
considerando un modelo determinista mediante esquema de Crank-
Nicolson y una formulación estocástica median=
te el
método Euler-Maruyama. La incertidumbre se modeló con ruido blanco gaussi=
ano
aditivo y se evaluó mediante 200 simulaciones Monte Carlo en aluminio, ac=
ero
inoxidable y madera. Se emplearon como métricas el RMSE, la varianza máxi=
ma y
la energía térmica promedio. Resultados: la media del ensamblaje M=
onte
Carlo presentó una elevada concordancia con la solución determinista. El
incremento de la intensidad del ruido aumentó la dispersión estadística,
mientras que la energía térmica promedio permaneció prácticamente constan=
te. Conclusiones:
en conclusión, la difusividad térmica actúa como un mecanismo natural=
de
amortiguamiento de la incertidumbre, afectando principalmente la variabil=
idad
de la solución sin modificar significativamente la dinámica promedio del
proceso difusivo. Área de estudio general: Matemática Aplicada. |
|
||||||
|
Keywords:Heat equation, partial differential equations, stochastic processes, white noise, Monte Carlo method. |
|
Abstract Introduction:
the
incorporation of uncertainty in heat conduction models allows us to repre=
sent
random perturbations present in various physical processes. Objectives=
: the
objective of this research is to compare the deterministic and stochastic
formulations of the one-dimensional heat equation under additive Gaussian
white noise and to analyze the influence of thermal diffusivity on the
propagation of uncertainty. Methodology: a validated and reproduci=
ble
computational simulation for stochastic partial differential equations was
implemented in the MATLAB software, considering a deterministic model usi=
ng
the Crank-Nicolson scheme and a stochastic formulation using the
Euler-Maruyama method. Uncertainty was modeled with additive Gaussian whi=
te
noise and evaluated using 200 Monte Carlo simulations in aluminum, stainl=
ess
steel, and wood. RMSE, maximum variance, and average thermal energy were =
used
as metrics. Results: the means of the Monte Carlo assembly showed a
high agreement with the deterministic solution. The increase in noise
intensity increased the statistical dispersion, while the average thermal
energy remained practically constant. Conclusions: in conclusion,
thermal diffusivity acts as a natural uncertainty dampening mechanism, ma=
inly
affecting the variability of the solution without significantly modifying=
the
average dynamics of the diffusive process. General area of study: =
Applied
Mathematics. Specific area of study: Computational simulation. =
Type
of study: Original articles. |
|
||||||
La transferencia de calor= por conducción constituye uno de los procesos físicos fundamentales en la ingeniería, debido a la participación en sistemas energéticos, procesos industriales, materiales estructurales, dispositivos electrónicos y aplicaciones de manufactura avanzada. La capacidad de describir y predecir = la evolución espacial y temporal de la temperatura es esencial para el diseño eficiente de sistemas térmicos y para la evaluación del comportamiento de materiales sometidos a diferentes condiciones operativas (Bergman et al., 2= 019; Ghajar & Çengel<= /span>, 2025).
La modelación matemática = de la conducción térmica se fundamenta en la ecuación clásica del calor, derivada= a partir de la ley de Fourier y del principio de conservación de la energía. = En una dimensión espacial, dicha Ecua= ción 1 puede expresarse como:
(1)
Donde
Este parámetro relaciona = la capacidad de conducción y almacenamiento de energía térmica, determinando la rapidez con que una perturbación térmica se propaga a través del medio (Eva= ns, 2022; Bergman et al., 2019).
A pesar del amplio desarr= ollo teórico y numérico alcanzado por la ecuación del calor, los sistemas físicos reales se encuentran expuestos a múltiples fuentes de incertidumbre, entre = las que destacan las fluctuaciones ambientales, los errores de medición, las variaciones en las propiedades de los materiales y las perturbaciones operacionales. Estas fuentes de incertidumbre limitan la capacidad predicti= va de los modelos deterministas clásicos, generando discrepancias entre las predicciones teóricas y el comportamiento observado experimentalmente (Ster= r et al., 2021; Li & Su, 2022; Seyer et al., 2024).
Con el propósito de incor= porar dichos efectos aleatorios, durante las últimas décadas ha surgido un crecie= nte interés por las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas (SPDE, por = sus siglas en inglés), las cuales incorporan términos probabilísticos capaces de representar perturbaciones espaciales y temporales de naturaleza aleatoria. Entre ellas, la ecuación de calor estocástica constituye uno de los modelos= más estudiados debido a su relevancia teórica y a sus aplicaciones en transfere= ncia de calor, dinámica de fluidos, propagación de contaminantes, crecimiento de interfaces y fenómenos de difusión en medios aleatorios (Anton et al., 2017; Dong et al., 2025; Khattab et al., 2024; Guzmán & Alvear, 2021; Azorin &= ; Yaulema, 2021).
Una de las formulaciones = más utilizadas corresponde al caso de ruido blanco gaussiano aditivo, modelado mediante la incorporación de un proceso de Wiener (Ecuación 2):
(2)
donde
Desde el punto de vista computacional, la resolución de SPDE representa un desafío considerable deb= ido a la coexistencia de fenómenos deterministas y aleatorios en múltiples esca= las espaciales y temporales. Como consecuencia, gran parte de la investigación reciente se ha orientado al desarrollo de métodos numéricos robustos que garanticen estabilidad, convergencia y precisión estadística (Esmaeilbeigi et al., 2019).
Entre los enfoques más ut= ilizados destacan los métodos de diferencias finitas, elementos finitos, técnicas espectrales y formulaciones híbridas adaptadas a la naturaleza probabilísti= ca de las SPDE (Anton et al., 2017; Dong et al., 2= 025).
Para la discretización del término difusivo, el esquema implícito de Crank-Nicolson continúa siendo un= a de las estrategias más empleadas debido a su estabilidad y precisión de segundo orden en espacio y tiempo (Crank & Nicolson, 1947). Por otra parte, la discretización del término estocástico suele realizarse mediante el método = de Euler-Maruyama, considerado la extensión natural del método de Euler para ecuaciones diferenciales estocásticas y ampliamente utilizado para la aproximación de integrales de Itô (Kloeden & Platen, 199= 2; Bogoi et al., 2023).
Asimismo, la cuantificaci= ón de la incertidumbre asociada a las soluciones estocásticas requiere procedimientos estadísticos capaces de caracterizar la variabilidad introducida por el rui= do. Entre las metodologías más empleadas destaca la simulación Monte Carlo, la = cual permite generar múltiples realizaciones independientes del proceso aleatorio para estimar métricas estadísticas, tales como la media del ensamblaje, la varianza espacial y el error respecto a una solución determinista de refere= ncia (Sterr et al., 2021; Zhang & Li, 2023).
Investigaciones recientes= han profundizado en el desarrollo de esquemas numéricos estructuralmente conservativos y técnicas orientadas a reducir el costo computacional de las SPDE. Dong et al. (2025) desarrollaron un enfoque de diferencias finitas de orden reducido para ecuaciones semilineales impulsadas por ruido blanco, mientras que Khattab et al. (2024) exploraron el uso de transformadas rápid= as de Fourier para acelerar la resolución de ecuaciones de calor estocásticas. Asimismo, Cîmpean et al. (2026) analizaron propiedades asintóticas de soluciones asociadas a ecuaciones de calor semilineales.
Sin embargo, la mayoría d= e estas investigaciones se concentra en aspectos teóricos relacionados con la convergencia, la estabilidad o la preservación estructural de los métodos numéricos, sin profundizar en la influencia que ejercen las propiedades fís= icas de los materiales sobre la propagación de la incertidumbre térmica. De forma paralela, los estudios aplicados de transferencia de calor bajo incertidumb= re suelen orientarse hacia sistemas complejos, micro canales o medios radiacti= vos (Li & Su, 2022; Sterr et al., 2021; Seyer et al., 2024), existiendo un número limitado de investigaciones dedicadas a cuantificar comparativamente= el efecto de la difusividad térmica sobre la respuesta estadística de modelos estocásticos unidimensionales (Navas et al., 2022; Elizalde et al., 2024; Benítez et al., 2025).
Esta brecha resulta parti= cularmente relevante debido a que la difusividad térmica no solo regula la velocidad de disipación del calor, sino también la capacidad del material para amortiguar las fluctuaciones inducidas por perturbaciones aleatorias (Adamowicz, 2022)= .
En consecuencia, la caracterización cuantitativa de la relación entre las propiedades térmicas = del material y la propagación de la incertidumbre constituye un problema de int= erés tanto científico como ingenieril. En particular, existe una limitada eviden= cia cuantitativa sobre la influencia de la difusividad térmica en la propagació= n de la incertidumbre en modelos unidimensionales de conducción de calor sujetos= a ruido blanco gaussiano aditivo, lo que dificulta comprender el papel de las propiedades físicas del material en la respuesta estadística del sistema.
A diferencia de estudios centrados en el desarrollo de nuevos esquemas numéricos para ecuaciones del calor estocásticas, este trabajo cuantifica comparativamente el efecto de la difusividad térmica sobre la propagación de la incertidumbre bajo ruido bla= nco gaussiano aditivo. En este contexto, el presente trabajo desarrolla un anál= isis numérico comparativo de la ecuación de calor unidimensional bajo dos escenarios: un modelo determinista clásico y un modelo estocástico con ruido blanco gaussiano aditivo. La comparación se realiza considerando materiales= con diferentes coeficientes de difusividad térmica (aluminio, acero inoxidable y madera) y distintos niveles de intensidad del ruido, con el propósito de analizar cómo las propiedades térmicas influyen en la propagación de la incertidumbre.
La investigación se funda= menta en la hipótesis de que la incorporación de perturbaciones estocásticas increme= nta la dispersión estadística de la solución térmica respecto al modelo determi= nista y que este efecto depende de la difusividad térmica del material, siendo más pronunciado en materiales con menor capacidad de disipación.
Para contrastar esta hipó= tesis, se emplea una metodología basada en diferencias finitas, discretización de Crank-Nicolson para el término difusivo, integración estocástica mediante el método de Euler-Maruyama y simulaciones Monte Carlo para la cuantificación = de la incertidumbre.
Por consiguiente, el objetivo de la investigación es comparar las formulaciones= determinista y estocástica con ruido blanco gaussiano aditivo de la ecuación del calor unidimensional mediante simulación numérica, evaluando su efecto sobre métr= icas de error, energía y variabilidad estadística en materiales con diferentes propiedades de difusión térmica. Los resultados obtenidos aportan evidencia cuantitativa sobre el papel de la incertidumbre en los procesos de conducci= ón de calor y contribuyen al desarrollo de metodologías de simulación estocást= ica aplicables a problemas de ingeniería térmica y modelación matemática bajo incertidumbre.
2.&n=
bsp;
Metodología
La presente investigación= se desarrolló bajo un enfoque cuantitativo de nivel explicativo y comparativo, mediante un diseño cuasi – experimental computacional orientado al análisis= de propagación de incertidumbre en sistemas de conducción térmica unidimension= al.
Este diseño fue seleccion= ado debido a que permite manipular de forma controlada variables físicas y estocásticas, evaluando su influencia sobre la estabilidad, dispersión y capacidad predictiva de soluciones numéricas sujetas a perturbaciones aleatorias.
Asimismo, el estudio se c= lasifica como una investigación aplicada de simulación numérica, ya que emplea model= os matemáticos y algoritmos computacionales para reproducir fenómenos físicos = de transferencia de calor bajo condicionales controladas de incertidumbre permitiendo analizar escenarios cuya validación experimental resulta comple= ja o costosa.
La investigación se estru= cturó mediante dos escenarios experimentales: modelo determinista de referencia y modelo estocástico con ruido blanco.
Como variables independie=
ntes se
definieron la intensidad del ruido estocástico (<=
![if !msEquation]>
(3)
donde
(4)
2.1.
Población de estudio, muestra y criterios de selección
En el contexto físico-computacional del estudio, la población estuvo conformada por materi= ales sólidos isotrópicos susceptibles de ser modelados mediante conducción térmi= ca unidimensional. Se empleó un muestreo intencional no probabilístico, seleccionando tres materiales con capacidades difusivas contrastantes: alum= inio (alta difusividad), acero inoxidable (difusividad media) y madera (baja difusividad) (Bergman et al., 2019). La selección de estos materiales permi= tió cubrir distritos regímenes de propagación térmica, favoreciendo el análisis comparativo del efecto de las perturbaciones estocásticas sobre materiales = con velocidades de difusión contrastantes. Los criterios de inclusión exigieron propiedades térmicas constantes, isotropía material, comportamiento lineal = de conducción y ausencia de cambios de fase en el rango analizado. Se excluyer= on sistemáticamente materiales anisótropos, medios no homogéneos y sistemas con dependencia no lineal de la temperatura.
Para el análisis estadíst= ico del comportamiento estocástico, la muestra computacional se definieron 200 simulaciones independientes de Monte Carlo por cada configuración experimen= tal. Este tamaño muestral se determinó tras pruebas piloto que confirmaron la estabilización estadística de la media del ensamblaje, la varianza y la convergencia del RMSE. Al fundamentarse exclusivamente en simulaciones numéricas, esta investigación no involucra seres humanos ni animales, prescindiendo de la aprobación de un comité de ética y del consentimiento informado.
2.2. Modelo matemático
(5)
donde
(6)
Sujeto a:=
El dominio espacial se limitó a
(7)
Los incrementos del proceso =
de
Wiener se aproximaron mediante
<=
span
style=3D'mso-list:Ignore'>2.4. Resolución numérica del modelo=
(8)
mediante el esquema semi implícito de Euler – Maruyama implementado =
en
la función: solver_stochastic_EM.m. El e=
squema
numérico empleado puede expresarse como Ecuación 8
Los incrementos de Wiener=
fueron
generados mediante
Asimismo, en este archivo se definen todos los parámetros globales d=
el
experimento, incluyendo la longitud del dominio (L), el tiempo final=
de
la simulación (T), los tamaños de discretización espacial y temporal=
(
Una vez definidos los par=
ámetros globales,
el script build_grid.m construye =
la
malla espacio-temporal uniforme utilizado por todos los experimentos. Este
procedimiento discretiza el dominio espacial
Posteriormente, la funció=
n init_condition.m general la distribución
térmica inicial utilizada en simulaciones. En el presente estudio se empleó=
un
perfil gaussiano centrado en el dominio: <=
![if !msEquation]>
La solución exacta se obtiene mediante la función exact_solution_heat.m,
la cual implementa Ecuación 10:
(10)
Esta solución se evalúa sobre la misma malla espacio- temporal utili=
zada
para el solver numérico (O=
gethakpo
& Nkonyeasya, 2025).
Posteriormente se calcula la diferencia entre la solución exacta y la
solución numérica obtenida mediante Crank-Nicolson, determinándose: Error
absoluto, Error máximo, Norma
La segunda etapa consiste=
en el
estudio de convergencia espacial, una vez validado el =
solver
determinista el script study_spatial_convergence.m
analiza el comportamiento del error al refinar progresivamente la
discretización espacial. Para ello, se ejecutan múltiples simulaciones
utilizando distintos tamaños de malla:
Posteriormente, la segunda
validación numérica es ejecutada mediante study_tempor=
al_convergence.m,
en este procedimiento se mantiene fija la discretización espacial y se real=
izan
simulaciones utilizando distintos valores de
A continuación, se realiz= a la validación estocástica del modelo de ruido blanco que es evaluada mediante = el script study_stochastic_validation.m. En esta e= tapa se generan múltiples realizaciones independientes de la ecuación de calor estocástica utilizando el esquema Euler – Maruyama. El análisis permite verificar estabilidad estadística de la media; crecimiento esperado de la varianza; comportamiento de la energía térmica promedio; ausencia de trayectorias numéricamente divergentes y consistencia de los intervalos de confianza. Esta prueba constituye una validación empírica del comportamiento probabilístico del modelo.
La convergencia fuerte y convergencia débil se analiza en el script study_st= rong_weak_convergence.m evalúa los órdenes de convergencia característicos del método de Euler – Maruyama. Para ello se comparan simulaciones realizadas con distintos pasos temporales utilizando trayectorias de Wiener consistente entre mallas (Baye= r et al., 2024).
Se calcula el error fuert=
e
La estabilidad estadístic=
a del
ensamblaje es estudiante mediante study_MC_converge=
nce.m.
Se realizan simulaciones utilizando diferentes cantidades de realizacio=
nes.
El script study_confidence_intervals.m evalúa la evolución de los intervalos de confianza del 95 % obtenidos a partir de las simulaciones Monte Carlo. Se verifica que el aumento del núme= ro de realizaciones produce una reducción progresiva de la incertidumbre estadística estimada, confirmando la estabilidad del ensamblaje.
El análisis paramétrico es
realizado mediante study_sigma_sensitivity.m
. En esta etapa se consideran distintos valores de:
Comparando el comportamie=
nto
determinista y estocástico para diferentes intensidades de ruido (Li & =
Su, 2022).
Esta prueba permite evaluar la capacidad disipativa del sistema y detectar
posibles anomalías numéricas.
Para analizar los perfile=
s medios
y perfiles de varianza, se utilizan los scripts stu=
dy_mean_profiles.m
y study_variance_profiles.m q=
ue
calculan respectivamente
Finalmente, para el análi= sis de gaussianidad se utiliza el script study_gaussianity.m que analiza la distribución estadística de la temperatura en puntos específicos del dominio. Para ello se calculan: asimetría (skewness) y curtosis (kurtosis) (Rice, 2007).
2.6. Reproducibilidad computacional
Con el propósito de garan= tizar la reproducibilidad de los experimentos numéricos, todas las simulaciones fuer= on implementadas en MATLAB mediante una arquitectura modular basada en scripts= y funciones independientes. La generación de números aleatorios se controló mediante semillas maestras predefinidas, permitiendo replicar exactamente l= as trayectorias estocásticas y los resultados estadísticos obtenidos.
Los parámetros físicos, n= uméricos y computacionales empleados en cada experimento fueron almacenados automáticamente junto con los resultados generados, incluyendo las propieda= des térmicas del material, la intensidad del ruido, el tamaño de la malla espacio-temporal y el número de realizaciones Monte Carlo.
Asimismo, la estructura m= odular del código permite la validación independiente de cada componente del model= o, favoreciendo la trazabilidad de los resultados y facilitando la extensión futura del marco computacional hacia otros problemas de difusión bajo incertidumbre.
La simulación es de manejo público, adjunto en el siguiente link de GitHub: https://github.com/Bri-commits/deterministic-vs-stochastic-heat-e= quation-1d
3.
Resultados
Los experimentos numérico=
s se
realizaron para la ecuación del calor unidimensional bajo formulaciones
deterministas y estocásticas, considerando tres materiales con propiedades
difusivas contrastantes: aluminio =
Las
simulaciones se desarrollaron bajo las condiciones indicadas en la metodolo=
gía
con
3.1. =
Validación del modelo determinista y
comportamiento difusivo
La solución determinista =
obtenida
mediante el esquema implícito de Crank–Nicolson presentó un comportamiento
estable para los tres materiales analizados, sin evidenciar oscilaciones
espurias ni inestabilidades numéricas. Aunque este método es incondicionalm=
ente
estable, se mantuvo constante la relación
La evolución de la energía térmica mostró una disipación consistente con la difusividad de cada materi= al. El aluminio presentó la mayor reducción relativa de energía, con una razón entre la energía final e inicial de 0,9836, mientras que el acero inoxidabl= e y la madera registraron valores de 0,9993 y 0,9999, respectivamente.
Estos resultados confirma= n que los materiales de alta difusividad redistribuyen el calor con mayor rapidez, favoreciendo la disipación energética del sistema. En contraste, los materi= ales de baja difusividad conservan gradientes térmicos más pronunciados durante = el intervalo de simulación considerado.
Como=
se
muestra en la
Mapas=
térmicos espacio
– temporales de la solución determinista
<=
span
style=3D'font-size:10.0pt;line-height:115%'>Nota. Los materiales utilizados fuer=
on
aluminio, acero inoxidable y madera. La condición inicial gaussiana evoluci=
ona
bajo condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas, evidenciando una disi=
pación
térmica dependiente de la difusividad del material. El aluminio presenta una
rápida redistribución del calor, mientras que la madera conserva gradientes
térmicos más pronunciados debido a su menor capacidad difusiva. La evolución
temporal es moderada debido al intervalo de simulación considerado (T=3D0.5=
).
=
3.2. =
Influencia de la difusividad térmica en la
propagación de la incertidumbre
La incorporación de ruido= blanco generó un incremento progresivo de la dispersión estadística, cuya magnitud dependió simultáneamente de la intensidad de la perturbación y de la difusividad térmica del material.
La Tabla 1 resume las métricas globales obtenidas para σ=3D0.50, correspondiente al escenari= o de máxima perturbación analizado.
Comparación
del RMSE, varianza máxima y energía térmica final para σ=3D0,50
|
Material |
RMSE |
Varianza máxima |
Energía final |
|
Alu=
minio |
|
|
|
|
Ace=
ro
inoxidable |
|
|
|
|
Mad=
era |
|
|
|
<=
span
style=3D'font-size:10.0pt;line-height:115%'>Nota. El RMSE se calculó respecto a la
solución determinista de referencia.
Los res=
ultados muestran
diferencias significativas entre los materiales estudiados. El aluminio
presentó los menores niveles de dispersión estadística, registrando una
varianza máxima de
A pesar del incremento de la dispersión estadística, la energía térm=
ica
final permaneció prácticamente constante para los tres materiales, con
variaciones inferiores al 2 % respecto al caso determinista. Este resultado
indica que el ruido blanco aditivo modifica principalmente la distribución
espacial de la temperatura y la variabilidad de las trayectorias, sin alter=
ar
significativamente el balance energético global del sistema.
Como=
se
observa en la
Media
del ensamblaje Monte Carlo e intervalos de confianza del 95 % para ruido
aditivo
<=
span
style=3D'font-size:10.0pt;line-height:115%'>Nota. La línea continua representa la
temperatura promedio obtenida a partir de 200 realizaciones independientes =
de
Monte Carlo, mientras que la región sombreada indica el intervalo de confia=
nza
del 95 %. La solución determinista de referencia se muestra para comparació=
n.
Se observa una ampliación progresiva de las bandas de incertidumbre conforme
disminuye la difusividad térmica del material.
La Figura 2 muestra que el ancho de las ba= ndas de incertidumbre aumenta conforme disminuye la difusividad térmica del material. En el caso del aluminio, las fluctuaciones permanecen relativamen= te acotadas durante toda la simulación, reflejando una elevada capacidad de disipación de las perturbaciones aleatorias. Por el contrario, la madera presenta bandas considerablemente más amplias, evidenciando una mayor sensibilidad a la acción acumulativa del ruido blanco.
3.3. Análisis de sensibilidad paramétrica respecto a =
la
intensidad del ruido
El incremento de la inten= sidad de las perturbaciones generó un crecimiento aproximadamente lineal tanto del R= MSE como de la varianza máxima para los tres materiales estudiados.
En el caso del aluminio, =
el RMSE
aumentó desde
La varianza máxima mostró=
una
dependencia aproximadamente cuadrática respecto a la intensidad del ruido,
consiste con la naturaleza del término estocástico. Para σ=3D0.01, los
valores de varianza máxima fueron
El análisis de regresión =
lineal
evidenció una relación prácticamente perfecta entre la intensidad del ruido=
y
el RMSE, con coeficientes de correlación cercanos a 1,00 para los tres
materiales. Las pendientes de sensibilidad obtenidas fueron
A pesar del aumento de la dispersión estadística, la energía térmica final permaneció prácticamente constante en todos los escenarios, con variaciones inferiores al 3 % respec= to al caso determinista. Este resultado demuestra que el ruido blanco gaussian= o modifica principalmente la variabilidad de las trayectorias individuales, sin altera= r de forma significativa la dinámica energética global del sistema.
3.4. Influencia de la difusividad térmica sobre la
energía térmica promedio
Adem= ás de las métricas de dispersión estadística, se analizó la evolución temporal de= la energía térmica promedio, la cual permite evaluar el efecto global de las perturbaciones aleatorias sobre el contenido energético del sistema.
Compa=
ración
temporal de la energía térmica promedio para los materiales analizados bajo
ruido blanco aditivo
Nota.=
La energía térmica se calculó a
partir de la media del ensamblaje Monte Carlo para σ=3D0.50.
Como se= observa en la Figura = 3, la energía térmica permaneció acotada durante todo el intervalo de simulaci= ón para los tres materiales estudiados. No obstante, la magnitud de las fluctuaciones energéticas presentó diferencias apreciables asociadas a la difusividad térmica de cada material.
La madera exhibió las may= ores variaciones temporales, alcanzando niveles energéticos superiores a los observados en aluminio y acero inoxidable. Por el contrario, el aluminio mo= stró una evolución considerablemente más estable, con oscilaciones de baja ampli= tud alrededor de un valor medio prácticamente constante.
Estos resultados son cons= istentes con el comportamiento observado en las métricas de varianza y RMSE presenta= das en la Tabla 1= . Los materiales con mayor difusividad térmica redistribuyen con mayor rapidez las perturbaciones introducidas por el término estocástico, reduciendo la acumulación local de energía asociada a las fluctuaciones aleatorias. En contraste, los materiales menos difusivos presentan una mayor persistencia = de dichas perturbaciones, lo que se traduce en una respuesta energética más variable.
A pesar de estas diferenc= ias, la energía térmica promedio permaneció dentro de un rango relativamente estrec= ho durante toda la simulación, indicando que el ruido blanco aditivo modifica principalmente la variabilidad estadística de las trayectorias térmicas sin alterar significativamente la estabilidad energética global del sistema.
3.5. =
Com=
paración
entre la solución determinista y la respuesta estocástica promedio
Con = el propósito de evaluar el efecto global de las perturbaciones aleatorias sobr= e la dinámica térmica, se comparó la solución determinista de referencia con la media estadística obtenida mediante simulación Monte Carlo.
Comparación
entre la solución determinista y la media del ensamblaje Monte Carlo bajo r=
uido
blanco aditivo
<=
span
style=3D'font-size:10.0pt;line-height:115%'>Nota. La línea continua representa la
solución determinista obtenida mediante Crank–Nicolson, mientras que la lín=
ea
discontinua corresponde a la media del ensamblaje Monte Carlo.
La Figura 4 muestra u= na elevada concordancia entre la solución determinista y la media estocástica = para los tres materiales analizados. Las diferencias observadas son relativamente pequeñas en comparación con la amplitud total del campo térmico, lo que ind= ica que el ruido blanco aditivo no altera la dinámica promedio del fenómeno difusivo.
No obstante, la magnitud = de las desviaciones aumenta ligeramente conforme disminuye la difusividad térmica, siendo más evidente en la madera. Este comportamiento coincide con los valo= res de RMSE reportados en la Tabla 1 y confirma que los materiales menos difusivos presentan una mayor susceptibilidad frente a perturbaciones aleatorias.
En conjunto, los resultad= os obtenidos evidencian que la incertidumbre inducida por el ruido blanco afec= ta principalmente la dispersión estadística de las trayectorias térmicas, mien= tras que la evolución promedio del sistema permanece cercana a la solución determinista. Esto sugiere que la principal consecuencia de la incertidumbr= e no radica en modificar la tendencia global del proceso de difusión, sino en incrementar la variabilidad asociada a las predicciones térmicas.
3.6. Validación numérica de las aproximaciones
estocásticas
Las simulaciones se complementaron con pruebas de validación orientadas a verif= icar la consistencia numérica y estadística del modelo implementado. Para ello, = se evaluaron la convergencia espacial y temporal del esquema de Crank–Nicolson= , la convergencia fuerte y débil del método de Euler–Maruyama, la estabilidad del ensamblaje Monte Carlo y la consistencia probabilística del ruido blanco aditivo exponiendo en la Tabla 2 el valor teórico, el valor experimental y el e= rror relativo existente.
Resultados
de la validación numérica de los esquemas determinista y estocástico
|
Análisis |
Método numérico |
Valor teórico |
Valor experimental |
Error relativo (%) |
|
Convergencia espacial |
Crank–Nicolson |
2,0 |
2,0004 |
0,02 |
|
Convergencia temporal |
Crank–Nicolson |
2,0 |
2,2067 |
10,33 |
|
Convergencia fuerte |
Euler–Maruyama |
0,5 |
0,4356 |
12,88 |
|
Convergencia débil |
Euler–Maruyama |
1,0 |
0,9909 |
0,91 |
|
Convergencia Monte Carlo |
Muestreo Monte Carlo |
|
Verificada para =
|
— |
|
Gaussianidad=
|
Ruido blanco aditivo |
Asimetría =3D 0; Curtosis =3D 3 |
Asimetría =3D 0,0828; Curtosis =3D 2,7962=
|
— |
<=
span
style=3D'font-size:10.0pt;line-height:115%;color:white;mso-color-alt:window=
text'>Nota. El RMSE se calculó respecto a la
solución determinista de referencia. Los órdenes teóricos corresponden a los
resultados clásicos reportados para los esquemas de Crank–Nicolson y
Euler–Maruyama en la literatura especializada. Las propiedades de gaussianidad se evaluaron respecto a los valores teór=
icos
de asimetría nula y curtosis igual a tres.
La
estabilización de las métricas estadísticas a partir de
Los análisis de convergen=
cia
espacial y temporal expuestos en la Tabla 2, evidenciaron órdenes experimentales de 2,0004=
y
2,2067, respectivamente, en concordancia con el comportamiento teórico de
segundo orden del esquema de Crank–Nicolson. Asimismo, el método de
Euler–Maruyama alcanzó órdenes experimentales de 0,4356 para la convergencia
fuerte y de 0,9909 para la convergencia débil, próximos a los valores teóri=
cos
de
La ligera discrepancia ob=
servada
en la convergencia fuerte puede atribuirse al carácter estadístico del méto=
do
Monte Carlo, al número finito de realizaciones consideradas
En c= onjunto, estos resultados demuestran que las soluciones obtenidas son independientes= de la discretización empleada dentro de los rangos analizados, descartando la presencia de errores numéricos dominantes y permitiendo atribuir la dispers= ión observada a la naturaleza física del término estocástico y no a artefactos computacionales.
Validación
estadística de las fluctuaciones térmicas generadas por el modelo estocásti=
co
<=
span
style=3D'font-size:10.0pt;line-height:115%'>Nota. El histograma muestra una distribución aproximadam=
ente
simétrica y consistente con una ley normal. El gráfico cuantil–cuantil (QQ-=
plot) evidencia una alineación cercana a la recta de
referencia para la mayoría de los cuantiles, confirmando que las fluctuacio=
nes
generadas mediante los incrementos discretos del proceso de Wiener reproduc=
en
adecuadamente el comportamiento gaussiano esperado del ruido blanco utiliza=
do
en el modelo.
Con el propósito de verificar la consistencia probabilística del tér=
mino
estocástico, se evaluó la distribución de las fluctuaciones térmicas en el =
nodo
central del dominio (x=3D0.5). Los resultados mostraron una asimetría de 0.=
0828 y
una curtosis de 2.796, valores próximos a los correspondientes a una
distribución normal ideal (0 y 3, respectivamente). Como se observa en la <=
/span>Figura 5,
el histograma experimental presenta un ajuste satisfactorio a la distribuci=
ón
gaussiana teórica, mientras que el gráfico cuantil–cuantil (QQ-plot) evidencia una alineación cercana a la recta de
referencia en la mayor parte del rango de cuantiles. Estas observaciones
confirman que las perturbaciones generadas mediante los incrementos discret=
os
del proceso de Wiener reproducen adecuadamente las propiedades estadísticas
esperadas del ruido blanco utilizado en la formulación del modelo. <=
/p>
En conjunto, la validación numérica realizada demuestra que la
dispersión observada en las simulaciones no constituye un artefacto asociad=
o a
la discretización espacial, temporal o al procedimiento de muestreo, sino u=
na
consecuencia inherente de la dinámica estocástica introducida en el sistema=
de
conducción térmica. Por tanto, las diferencias identificadas entre material=
es y
niveles de perturbación son consistentes con la dinámica física representada
por el modelo bajo las hipótesis consideradas, respaldando la robustez y
confiabilidad de la implementación computacional desarrollada. Durante el estudio de convergencia esp=
acial,
el cálculo de autovalores mediante algoritmos iterativos presentó dificulta=
des
de convergencia para la malla más refinada ( 4.
Discusión Los resultados obtenidos
permitieron alcanzar el objetivo de la investigación, consistente en compar=
ar
las formulaciones determinista y estocástica de la ecuación del calor
unidimensional bajo la incorporación de ruido blanco gaussiano aditivo y
analizar el efecto de la difusividad térmica sobre la propagación de la
incertidumbre. La elevada concordancia o=
bservada
entre la solución determinista y la media del ensamblaje Monte Carlo confir=
ma
el comportamiento teórico esperado para sistemas gobernados por perturbacio=
nes
aditivas de media nula. Este resultado es consistente con la formulación
clásica de las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas impulsadas p=
or
ruido blanco gaussiano, donde la media del proceso conserva la dinámica
determinista subyacente, mientras que la incertidumbre se manifiesta a trav=
és
del incremento de la dispersión estadística de las trayectorias individuale=
s (Kloeden & Platen, 199=
2; Lord &
Tambue, 2018). Los resultados evidenciar=
on que
la difusividad térmica desempeña un papel determinante en la propagación de=
la
incertidumbre. El aluminio, caracterizado por una elevada difusividad térmi=
ca,
presentó los menores valores de RMSE, varianza máxima y amplitud de las ban=
das
de incertidumbre, mientras que la madera exhibió la mayor sensibilidad fren=
te a
las perturbaciones aleatorias. Este comportamiento confirma que la difusivi=
dad
térmica no solo regula la velocidad de disipación del calor, sino también la
capacidad del material para amortiguar las fluctuaciones inducidas por el
ruido, en concordancia con lo señalado por Adamowicz (2022) y Bergman et al.
(2019). La dependencia aproximada=
mente
lineal observada entre la intensidad del ruido y el RMSE, junto con la rela=
ción
cuadrática identificada para la varianza, coincide con las leyes de escala
teóricas descritas para ecuaciones diferenciales parciales estocásticas con
ruido gaussiano aditivo de baja intensidad (Lord & Tambue,
2018). Asimismo, la estabilidad de la energía térmica promedio observado en
todos los escenarios analizados indica que las perturbaciones aleatorias
afectan principalmente la variabilidad espacial y temporal de la temperatur=
a,
sin alterar significativamente el balance energético global del sistema. Es=
te
resultado concuerda con los hallazgos reportados por Li & Su (2022) qui=
enes
evidenciaron que la incertidumbre térmica modifica la distribución local de=
la
energía sin generar cambios sustanciales en la dinámica energética promedio=
. Desde el punto de vista n=
umérico,
la validación realizada respalda la confiabilidad de los resultados obtenid=
os.
La comparación con la solución analítica de referencia confirmó la precisión
del esquema de Crank-Nicolson para resolver la ecuación del calor determini=
sta,
reproduciendo el orden de convergencia esperado de segundo orden en espacio=
y
tiempo (Crank & Nicolson, 1947; LeVeque, 2007). De manera complementaria, las pruebas=
de
convergencia fuerte y débil verificaron el comportamiento teórico del métod=
o de
Euler-Maruyama para la integración temporal del término estocástico, en
concordancia con los resultados reportados por Higham (2001). Asimismo, la estabilizaci=
ón de
las métricas estadísticas a partir de 200 realizaciones Monte Carlo resultó
consistente con la tasa de convergencia teórica del error muestral,
proporcional a El análisis de gaussianidad mostró valores de asimetría y curtosis
próximos a los correspondientes a una distribución normal ideal, confirmand=
o que
las fluctuaciones térmicas generadas reproducen adecuadamente las propiedad=
es
estadísticas del proceso de Wiener utilizado en la formulación del modelo (=
Rice,
2007). Estos resultados respaldan la consistencia probabilística del esquema
implementado y permiten atribuir la dispersión observada a la dinámica físi=
ca
del sistema y no a artefactos numéricos. Si bien la ecuación del c=
alor
unidimensional con ruido blanco gaussiano aditivo constituye un problema
ampliamente estudiado, continúa siendo un modelo de referencia para el anál=
isis
y validación de estrategias numéricas aplicadas a ecuaciones diferenciales
parciales estocásticas (Anton et al., 2017; Don=
g et
al., 2025). En este contexto, el principal aporte del presente trabajo radi=
ca
en la cuantificación comparativa del efecto de la difusividad térmica sobre=
la
propagación de la incertidumbre en materiales con propiedades difusivas
contrastantes, aspecto que ha recibido menor atención en la literatura
reciente, predominantemente orientada al desarrollo de esquemas numéricos
avanzados y al estudio de problemas de mayor complejidad matemática (Khatta=
b et
al., 2024; Cîmpean et al., 2026). Los resultados deben
interpretarse considerando el alcance específico de la investigación. El
estudio se restringió a una formulación unidimensional, con propiedades
térmicas constantes, materiales homogéneos e isotrópicos y condiciones de
frontera de Dirichlet homogéneas. Asimismo, el análisis se limitó
deliberadamente al caso de ruido blanco gaussiano aditivo, debido a que esta
formulación constituye un marco de referencia fundamental para el estudio d=
e la
interacción entre difusión e incertidumbre y permite establecer comparacion=
es
directas con la solución determinista. En
consecuencia, la extensión del modelo hacia dominios multidimensionales,
ecuaciones no lineales, materiales heterogéneos o formulaciones con otros t=
ipos
de perturbaciones representa una línea de investigación futura que excede el
alcance del presente estudio. No obstante, el marco computacional desarroll=
ado
proporciona una base sólida y reproducible para abordar estos escenarios en
investigaciones posteriores. 5.
Conclusiones ·
La
comparación entre las formulaciones determinista y estocástica de la ecuaci=
ón
del calor unidimensional permitió demostrar que la incorporación de ruido
blanco gaussiano aditivo incrementa la incertidumbre asociada a la respuesta
térmica sin modificar de manera significativa la dinámica promedio del proc=
eso
difusivo. ·
La
difusividad térmica se identificó como un factor determinante en la propaga=
ción
de la incertidumbre, evidenciando que los materiales con mayor capacidad
difusiva presentan un efecto amortiguador frente a las perturbaciones
aleatorias, el resultado contribuye a la comprensión del papel que desempeñ=
an
las propiedades físicas del material no solo en la transferencia de calor, =
sino
también en la respuesta estadística del sistema bajo perturbaciones aleator=
ias. ·
La
estabilidad observada en la energía térmica promedio indica que las
perturbaciones aleatorias afectan principalmente la variabilidad espacial y
temporal de la temperatura, mientras que el comportamiento energético global
permaneció acotado para la ecuación de calor unidimensional bajo perturbaci=
ones
de ruido blanco gaussiano aditivo y dentro del rango de parámetros evaluado=
. ·
La
validación del esquema numérico implementado, mediante análisis de converge=
ncia
espacial y temporal de segundo orden, convergencia fuerte y débil del métod=
o de
Euler–Maruyama, estabilización estadística del método Monte Carlo y
verificación de las propiedades probabilísticas del ruido, permitió garanti=
zar
la confiabilidad de las simulaciones y atribuir la dispersión observada a la
dinámica estocástica del modelo y no a errores de discretización. ·
El
principal aporte de esta investigación consiste en proporcionar un marco
computacional reproducible para la comparación entre modelos deterministas y
estocásticos de conducción de calor, incorporando procedimientos de validac=
ión
numérica que permiten cuantificar el efecto de la difusividad térmica sobre=
la
propagación de la incertidumbre en materiales con propiedades difusivas
contrastantes. · =
Los resultados obtenidos constituyen u=
na
base para futuras investigaciones orientadas al estudio de modelos de
conducción de calor en dimensiones superiores, geometrías complejas o
perturbaciones estocásticas más generales. 6.&n=
bsp;
Conflicto de
intereses Los
autores declaran que no existe conflicto de intereses en relación con el
artículo presentado.
Der=
echos
de autor (copyrigth)
Los
autores son los titulares de los derechos de autor (patrimoniales y/=
o de
explotación) de los contenidos de la revista (copyright).
8.&n=
bsp;
Declaración de
contribución de los autores
Los autores declaran haber participado de manera
equitativa y sustancial en la realización de esta investigación, bajo las
responsabilidades según la Taxonomía CRediT para describir las contribuciones individuales de
cada autor al trabajo.
Brigith
Magdalena Jiménez Tillaguango & Lidia del R=
ocio
Castro Cepeda =
realizaron
la conceptualización de la investigación, organización y ejecución del ensa=
yo,
recopilación y curación de los datos, revisión del análisis estadístico,
interpretación de los resultados, elaboración del borrador original,
preparación de tablas y figuras, revisión crítica del contenido y aprobació=
n de
la versión final del manuscrito.
Divulgación
de la delegación a la IA generativa
Los
autores declaran el uso de la IA generativa en el proceso de investigación y
redacción. Según la taxonomía GAIDeT (2025), las
siguientes tareas fueron delegadas a las herramientas GAI bajo supervisión
humana total:
-
Corrección y edición
-
Adaptación y ajuste del tono emocional
-
Reformateo
La
herramienta GAI utilizada fue: ChatGPT.
La
responsabilidad del manuscrito final recae íntegramente en los autores.
Las
herramientas GAI no figuran como autores y no asumen responsabilidad por los
resultados finales.
Declaración
presentada por: Brigith Magdalena Jiménez Tillaguango
9.&n=
bsp;
Costos de financiamiento
La
presente investigación fue financiada en su totalidad con fondos propios de=
los
autores.
10.
Referencias
bibliográficas
Adamowicz,
A. (2022). Determination of thermal diffusivity values based on the inverse
problem of heat conduction – numerical analysis. Acta Mechanica et Automatica, =
16(4),
399-407. https://doi=
.org/10.2478/ama-2022-0048
Anton, R., Cohen, D., &= ; Quer-Sardanyons, L. (2017). A fully discrete approximation of the one-dimensional stochastic heat equation. arXiv= [math.NA]. https://doi.org/https://doi.org/10.48550/arXiv.1= 711.08340 =
Azorin Penalva, A., & Yaulema Castañeda,=
J. L.
(2021). Case analysis numerical solution of differential equations with unce=
rtainty
and applications. C=
onciencia
Digital, 4(3.=
1),
253-272. https://doi.org/10.33262/=
concienciadigital.v4i3.1.1828
Bayer, C., Ben Hammouda, C=
.,
& Tempone, R. (2024). Multilevel Monte Carlo with numerical smo=
othing
for robust and efficient computation of probabilities and densities. SIAM
Journal on Scientific Computing, 46(3), A1514–A1548. https://doi.org/10.1137/22M1495718
Benítez Guarnizo, G. M., Toledo Toledo, J. F., & Martínez Ochoa, L. L. (2025).
Implementación de un prototipo de calentador solar para evaluar las variaci=
ones
de temperatura producidas en el interior de un cuarto de estudio en la ciud=
ad
de Loja. Alfa Publicaciones, 7(2.1), 122–149. https://doi.org/10.33262/ap.v7i2.1.613=
Bergman, T. L., Lavine, A.= S., Incropera, F. P., & DeWitt, D. P. (2019). Funda= mentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons, Inc. https://books.google.com.ec/books/about/Fundamen= tals_of_Heat_and_Mass_Transfer.html?id=3D0kAxEAAAQBAJ&redir_esc=3Dy
Bogoi, A., Dan, C.-I.,
Cîmpean,
I., Nachit, Y., & Tudor, C. A. (2026). Quar=
tic
variation of the solution to the semilinear
stochastic heat equation: Limit behavior and asymptotic independence with
respect to the data. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 557(1),
130258. https://doi=
.org/10.1016/j.jmaa.2025.130258
C=
rank,
J., & Nicolson, P. (1947). A practical method for numerical evaluation =
of
solutions of partial differential equations of the heat-conduction type.
D=
ong, J.,
Zhao, W., & Li, H. (2025). A structure-preserving reduced-order finite
difference approach for a class of semilinear
stochastic partial differential equations driven by white noise. Journal=
of
Mathematical Analysis and Applications, 552(2), 129807. https://doi.org/10.1016/=
j.jmaa.2025.129807 =
Elizalde Pin, R. A., Macao Ortega, J. A.,
& Marrero Ramírez, S. (2024). Análisis comparativo de consumo de energí=
a en
una estación de bombeo de agua con diferentes algoritmos de control
voltaje/frecuencia. Alfa Publicaciones, 6(2.2), 48–=
67. https://doi.org/10.33262/ap.v6i2.2.488=
Ermakov, S. & Smilovitsky, M. G. (2021). Monte-Carlo for solving large linear syst=
ems of
ordinary differential equations. Vestnik=
of
Saint Petersburg University Mathematics Mechanics Astronomy, 8<=
/i> (1),
37–48. https://doi=
.org/10.21638/spbu01.2021.104
Esmaeilbeigi, M., Chatrabgoun, O., & Shafa, M. (=
2019).
Numerical solution of time-dependent stochastic partial differential equati=
ons
using RBF partition of unity collocation method based on finite difference.=
Engineering
Analysis with Boundary Elements, 104, 120–134. https://doi.org/10.1016/=
j.enganabound.2019.03.013
E=
vans, L.
(2022). Partial differential equations (Vol. 19). American Mathemati=
cal
Society. https://boo=
ks.google.com.ec/books/about/Partial_Differential_Equations.html?id=3DOtt1E=
AAAQBAJ&redir_esc=3Dy
Ghajar, A. J., & Çengel, Y. A. (2025). Heat and mass transfer: fundamentals &
applications.
McGraw Hill LLC. https://boo=
ks.google.com.ec/books/about/Heat_and_Mass_Transfer_Fundamentals_and.html?i=
d=3DB89MnwEACAAJ&redir_esc=3Dy
Guzmán Clavijo, C. R., & Alvear Calle,=
D.
A. (2021). Application of the thermal balance equation to determine hygrothermal
comfort in a single-family house in canton Giron. Ciencia Digital, 5(2), 149-164. https://doi.org/10.33262/=
cienciadigital.v5i2.1722
Higham, D. J. (2001). An algorithmic
introduction to numerical simulation of stochastic differential equations. =
SIAM
Review, 43(3), 525–546. https://doi.org/10.1137/S0036144500378302=
=
K=
hattab,
A. G., Semary, M. S., Hammad, D. A., & Fare=
ed, A.
F. (2024). Exploring stochastic heat equations: a numerical analysis with f=
ast
discrete fourier transform techniques. Axiom=
s,
13(12), 886. https://doi=
.org/10.3390/axioms13120886
K=
loeden,
P. E., & Platen, E. (1992). Numerical solution of stochastic
differential equations. Springer Berlin Heidelberg. https://doi.org/10.1007/=
978-3-662-12616-5
K=
roese,
D. P., Taimre, T., & Botev, Z. I. (2011). <=
/span>=
Handbook of Monte Carlo methods. Wiley. https://www=
.wiley.com/en-us/Handbook+of+Monte+Carlo+Methods-p-9781118014943=
LeVeque,
R. J. (2007). Finite difference methods for ordinary and partial
differential equations: steady-state and time-dependent problems. Soci=
ety
for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). https://boo=
ks.google.com.ec/books/about/Finite_Difference_Methods_for_Ordinary_a.html?=
id=3DlZysESfSWwgC
L=
i, Y.,
& Su, C. (2022). Stochastic heat transfer analysis and reliability
assessment under non-stationary random thermal load using the explicit
time-domain method. International Journal of Heat and Mass Transfer,=
194,
123011. https://doi=
.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2022.123011
L=
ord, G.
J., & Tambue, A. (2018). A modified semi–im=
plicit
Euler–Maruyama scheme for finite element discretization of SPDEs with addit=
ive
noise. Applied Mathematics and Computation, 332, 105–122. https://doi.org/10.1016/=
j.amc.2018.03.014
Navas Muñoz, M. J., Matovelle
Bustos, C., Vélez Arcentales , A., &am=
p; Córdova, F. (2022). Evaluación de modelos hidráulicos unidimensionales y bidimensional=
es
para la generación de mapas de inundaciones en un río de montaña. A=
lfa Publicaciones, 4(1),
163–182. https://doi.org/10.33262/=
ap.v4i1.181
Ogethakpo, A. & Nkonyeasua, I. (2025). Analyzing Computational Approaches for Differential Equations: A Stu=
dy
of MATLAB, Mathematica, and Maple. arXiv=
[cs.MS]. <=
span
lang=3DEN-US style=3D'mso-fareast-font-family:DengXian;mso-fareast-theme-fo=
nt:minor-fareast;
color:windowtext;mso-ansi-language:EN-US'>https://doi.org/10.48550/arXiv.25=
10.02346
R=
ice, J.
A. (2007). Mathematical statistics and data analysis (3rd ed.). Ceng=
age
Learning. https://kor=
ivernon.com/documents/MathematicalStatisticsandDataAnalysis3ed.pdf
S=
eyer,
L., Enguehard, F., & R=
ochais,
D. (2024). Deterministic and stochastic approaches for the modeling of
conduction-radiation coupling within non-Beerian
semi-transparent media. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiati=
ve
Transfer, 325 (109086), 109086. https://doi.org/10.1016/=
j.jqsrt.2024.109086
S=
terr,
B., Mahravan, E., & Kim, D. (2021). Uncerta=
inty
quantification of heat transfer in a microchannel heat sink with random sur=
face
roughness. International Journal of Heat and Mass Transfer, 174(121307),
121307. https://doi=
.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2021.121307
Villasante, A., Fernández-Serrano, Á., Osuna-Sequera, C., & Hermoso, E. (2025). Methodology for stiffness prediction in
structural timber using cross-validation RMSE analysis. Journal of Build=
ing
Engineering, 107(112767), 112767. https://doi.org/10.1016/=
j.jobe.2025.112767
Welford, B. P. (1962). Note on a method for
calculating corrected sums of squares and products semantic scholar. Technometrics, 4(3), 419-4=
20. https://doi.org/10.1080/=
00401706.1962.10490022
Z=
hang,
A., & Li, Y. (2023). Thermal conductivity of aluminum alloys—a review. =
Materials,
16(8), 2972. <=
span
lang=3DEN-US style=3D'color:windowtext;mso-ansi-language:EN-US'>https://doi=
.org/10.3390/ma16082972
El artículo que se publica es de exclusiva
responsabilidad de los autores y no necesariamente reflejan el pensamiento =
de
la Revista Alfa Publicaciones.=
El artíc=
ulo
queda en propiedad de la revista y, por tanto, su publicación parcial y/o t=
otal
en otro medio tiene que ser autorizado por el director de la Revista Alfa Publicaciones.
www.alfapublicaciones.=
com
Esta revista está protegida =
bajo
una licencia Creative Commons en la 4.0
International. Copia de la licencia: http://cr=
eativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/